Diamond Structures

Diamond lattice structure

The diamond lattice (formed by the carbon atoms in a diamond crystal) consists of two interpenetrating face centered cubic Bravais lattices, displaced along the body diagonal of the cubic cell by one quarter the the length of the diagonal. It can be regarded as a face centered cubic lattice with the two-point basis:

where a is the lattice constant. The conventional cubic cell of the diamond lattice is shown in Fig.1.

Figure 1 (For animation, click on the picture...)

For clarity, the blue and green sites correspond to one of the two interpenetrating fcc lattices, and the light-blue sites correspond to another of the two interpenetrating fcc lattices. Nearest neighbor bonds have been drawn. The four nearest neighbors of each point form the vertices of a regular tetrahedron.
The diamond lattice is not a Bravais lattice, because the environment of each point differs in orientation from the environment of its nearest neighbors.
The 4x4 cell of the diamond lattice is shown in Fig.2.

Figure 2 (To get the big picture, click on it...)

GaAs structure

GaAs has equal numbers of gallium and arsenic ions distributed on a diamond lattice so that each has four of the opposite kind as nearest neighbors, as shown in Fig.3.

Figure 3

In the Fig.3, for example, the blue sites correspond to gallium ions and the green sites correspond to arsenic ions.
This structure is an example of a lattice with basis, which must be so described both because of the geometrical position of the ions and because two types of ions occur.
The 4x4 cell of the GaAs lattice is shown in Fig.4.

Figure 4 (To get the big picture, click on it...)

Nombre: Edymar Gonzalez A

http://phycomp.technion.ac.il/~nika/diamond_structure.html

Crystal structures

1.1 Primitive lattice Cell

An ideal crystal is constructed by the infinite repetition of identical structural units in space. In the simplest crystals the structural unit is a single atom, as in copper, silver, gold, iron, aluminium, and the alkali metals.

The structure of all crystals can be described in terms of a lattice, with a group of atoms attached to every lattice point. The group of atoms is called the basis; when repeated in space it forms the crystal structure. The basis consists of a primitive cell, containing one single lattice point. Arranging one cell at each lattice point will fill up the entire crystal.

1.2 Simple Crystal Structures

There are several types of crystal structures. The simplest one is the simple cubic lattice (sc). Two other cubic lattices are the body-centered (bcc) and the face-centered (fcc) cubic lattice.

Figure 1.2.1. Body-centered cubic (bcc) lattice	Figure 1.2.2. Face-centered cubic (fcc) lattice

1.3 Diamond and zinkblend lattice structures

The diamond lattice structure is very common in semiconductor materials, Si, Ge. GaAs and GaP has a zinkblende lattice structure which is similar to the diamond lattice structure. The difference between the face-centered lattice structure and the diamond lattice structure is four atoms (see pictures). In the GaAs these four atoms are Ga-atoms and the rest are As-atoms.


Figure 1.3.1. Diamond lattice structure

1.4 Reciprocal lattice

The electron density at each atom depends on the numder of electrons per atom, binding type and the lattice structure. The lattice structure is periodical in 3D and therefore is the electron density periodical in 3D. A periodic function can be expanded into a Fourier series. We are often familiar with the concept of Fourier series in one dimension (from signal theory), while Fourier series in 3D feels more abstract. However, the extention of the Fourier analysis to periodical functions in 3D is straightforward and it turns out that we can write the Fourier series in the same way as:

To proceed futher with the Fourier analysis of the electron concentration we must find the vectors G of the Fourier sum. G can be constructed from the axis vectors b1, b2, b3 of the reciprocal lattice:

The vectors a1, a2, a3 are primitive translation vectors or primitive basis for the real space lattice, while b1, b2, b3G is called a reciprocal lattice vector. All reciprocal lattice vectors can be expressed as a linear combination of b1, b2, b3 using integer coefficients. Exemples of reciprocal lattice vectors:


are primitive translation vectors or primitive basis for the reciprocal lattice.

G=b1+b2+b3


G=b1-2*b2+2*b3


G=-3*b1-10*b2-2*b3

Figure 1.4.1. Real space lattice	Figure 1.4.2. Reciprocal lattice

Q1.4.1 Which type of lattice structures are the real space lattice in figure 1.4.1 and the corresponding reciprocal lattice in figure 1.4.2 (the red atoms are the corners of the primitive cell)?

The reciprocal lattice is a lattice in the Fourier space associated with the crystal. Wavevectors are allways drawn in Fourier space, so that every position in Fourier space may have a meaning as a description of a wave, but there is a special significance to the points defined by the set of G's associated with a crystal structure. The set of reciprocal lattice vectors G determines the possible x-ray reflections (Bragg reflections). This makes it possible to study the reciprocal lattice structure using x-ray diffraction.

1.5 Brillouin zones

A Brillouin zone is defined as a Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice. A wigner-Seitz primitive cell can be constructed following this procedure:

draw lines to connect a given lattice point to all nearby lattice points.

at the midpoint and normal to these lines, draw new lines or planes.

the smallest volyme enclosed in this way is the Wigner-Seits primitive cell.

In the following illustrations several Brillouin zones has been constructed including the first zone (marked as green) for two different reciprocal lattices.

Figure 1.5.1. The construction of Brillouin zones in a square reciprocal lattice in two dimensions	Figure 1.5.2. The construction of Brillouin zones in an oblique reciprocal lattice in two dimensions

This procedure gives the first Brillouin zone which plays an important roll in the field of solid state electronics. The allowed energy levels within the first Brillouin zone is directly related to the electrical properties of the material.

Q1.5.1 Find the corners of the polygon holding the first Brillouin zone for a 2D lattice with the primitive vectors of the crystal as a1=a*[10x+y]/sqrt(26), a2=a*[x+5y]/sqrt(26).

1.6 Origin of the Energy Gap in solids

In this section we will look upon an electron as a propagating wave, as first suggested by de Broglie. A wave propagating in a crystal can be disturbed by Bragg reflection. The propability to find an electron at a certain location can be calculated using the Schrödinger equation. At Bragg reflections wavelike solutions to the Schrödinger equation do not exist.
The Bragg condition is:





In one dimension the condition becomes:



where n=1,2,3..... and a is the lattice constant.
The first reflection and the first energy gap occurs at n=1.



Figure 1.6.1 Left: Plot of energy versus wavevector k for a free electron. Right: Plot of energy versus wavevector k for an electron in a monatomic linear lattice of lattice constant a.







The energy gap Eg is assosiated with the first Bragg reflection at the first Brillouin zone boundary (n=1). The Bragg reflections at the zone boundaries will make standing waves in the crystal. A wave that travels neither to the left nor to the right is a standing wave: it does not go anywhere. There are two different standing waves that can occure: one representing the difference of a right and a left-directed wave and one representing the sum of a right and a left-directed wave. In figure 1.6.3 the first is called standing wave 1 and the second standing wave 2.





Figure 1.6.2 One dimensional periodic potential









Figure 1.6.3 Distribution of probability density in the periodic potential for standing wave 1 and 2. The standing wave 1 piles up charges in the region between the ion cores while standing wave 2 piles up charges around the core points.







The standing wave 2 piles up electrons around the postitive ion cores, which means that the average potential energy will be lower than for a free traveling wave (constant probability density). The potential energy corresponding to standing wave 1 will have higher potential energy than a free traveling wave, since it piles up electrons between the ion cores (not compensated by positive ions). The energy difference between the standing waves is the origin to the energy gap Eg.
The relation between the electron energy and the electron wave vector is called the band structure. The band structure is directly related to the crystall structure of the material. In the following section we will calculate the band structure for a square-well periodic potential. Band structure calculation of a real lattice is much more complicated and this exemple should be looked upon as a simple demonstration.



Figure 1.6.4 One dimesional periodic potential model.







We will use the limit where U0 approaching positive infinity and b approaches zero (a series of delta functions). Solving the Schrödinger equation in for this potential structure gives the following band structure.



Figure 1.6.5 Normalized energy versus normalized wave vector for the potential structure shown in figure 1.6.4. Note that the energy gap is always at the zone boundaries.







The band structure in figure 1.6.5 is plotted in several Brillouin zones. Usually a band structure is only plotted in the first Brillouin zone. We can transform figure 1.6.5 into a first brillouin zone plot by adding reciprocal lattice vectors until we get the proper format as in figure 1.6.6.



Figure 1.6.6 Normalized energy versus normalized wave vector in the first Brillouin zone for the potential structure shown in figure 1.6.4.







Real crystals are three dimensional, which means that there are energy values associated with each wave vector k=(kx,ky,kz). The band structure is in general divided into several bands, band 1, band 2, band 3 and so on. Figure 1.6.7a and figure 1.6.7b shows two of the Silicon band.



Figure 1.6.7a The first conduction band in Silicon.






Figure 1.6.7b The second conduction band in Silicon.







The band structure will deside how many wave vector states that are available for each energy level. If we consider all the available wave vectors for a specific energy level, we will be able to construct a 3D surface for each energy level. If we integrate all the available wave vectors in the 3D surface and multiply it with two (including spin up and spin down), we will get the total available wave vector states associated with that perticular energy level (density of states). In figure 1.6.8 to 1.6.10, constant energy surfaces has been plotted for the first conduction band and the first and second valence band in silicon.



Figure 1.6.8 Constant energy surface for the first conduction band in Silicon. Notice that the energy minima is not located at the first Brillouin zone. The energy value is 0.25eV above the conduction band minima. (The MPEG-movie starts at 0.0eV and stops at 0.25eV above the minima.)






Figure 1.6.9 Constant energy surface for the first valence band in Silicon. The wraped sphere is located at the center of the first Brillouin zone. The energy value is 0.5eV below the valence band maxima. (The MPEG-movie starts at 0.01eV and stops at 0.5eV below the maxima.)






Figure 1.6.10 Constant energy surface for the second valence band in Silicon. The wraped sphere is located at the center of the first Brillouin zone. The energy value is 0.5eV below the valence band maxima. (The MPEG-movie starts at 0.01eV and stops at 0.5eV below the maxima.)







Newtons equations for an electron in a semiconductor crystal can be written as:




Notice that the electric field will change the electron position in the reciprocal space and the corresponding movement in real space depends on the gradient of the band structure.

Q1.6.1 In figure 1.6.8 to 1.6.10 constant energy surfaces has ben plotted in the first Brillouin zone. How can we see that the band gap between valence and conduction band is indirect?
Q1.6.2 The effective mass approximation assumes that we can consider the electron or hole as a free particle. What is the difference between figure 1.6.8 to 1.6.10 and the corresponding energy bands using an effective mass appoach?
Hint: The band structure for an effective mass model is:



Q1.6.3 An electron is located at r0=[0,0,0], k0=[0,0,0] and a constant electric field of 10KV/cm is applied in the [1,1,0] direction. Use an effective mass band structure to find the final position of the electron in k-space and in r-space after 0.1 ps.
Q1.6.3 Which figure (1.6.9 or 1.6.10) correspondes to so called heavy holes?


Nombre: Edymar Gonzalez A
http://people.seas.harvard.edu/~jones/ap216/lectures/ls_2/ls2_u7/sse_tut_1/solid1.html

CAMBIO DE ESTRUCTURA CRISTALINA

Ciencia de los Materiales, Agosto 29, 03

A medida que los científicos reducen el tamaño de los materiales para producir nanopuntos, nanopartículas, nanobastones o nanotubos, de apenas unos átomos de diámetro, se están encontrando con comportamientos extraños que podrían tener aplicaciones imprevistas.

Simulaciones moleculares de cambios en la estructura de nanopartículas. Foto: H. Zhang, B. Gilbert, F. Huang, J. Banfield, University of California at Berkeley.

(NC&T) Los investigadores de la University of California en Berkeley, por ejemplo, han detectado un efecto inusual que podría tener buenas y malas implicaciones para el desarrollo de dispositivos semiconductores a escala nanométrica.

Según el informe realizado, las minúsculas acumulaciones de apenas 700 moléculas de material semiconductor (sulfuro de zinc) se muestran más ordenadas cuando sus partículas son expuestas al agua. El estudio muestra cómo las nanopartículas pueden responder a su entorno, lo que abre la posibilidad de desarrollar nanosensores menos invasivos.

Las nanopartículas, explica el físico Benjamin Gilbert, de la UC Berkeley, a menudo poseen estructuras cristalinas inesperadas, algo que los científicos pensaron podía deberse a efectos producidos en la superficie de la partícula.

Gilbert y el coautor Hengzhong Zhang sugieren que muchos tipos de nanopartículas podrían ser tan sensibles al agua como el sulfuro de zinc. Ambos opinan que para los sistemas de pequeñas partículas de quizá 2 a 3 nanómetros de diámetro, este tipo de transición estructural podría ser común.

Esto es bueno y malo a la vez. Si podemos controlar la estructura de una nanopartícula a través de su superficie, podremos producir una gran variedad de estructuras dependiendo de qué molécula se una a dicha superficie. Pero ello también produce efectos inesperados que los investigadores podrían no desear.

Los efectos de superficie podrían tener implicaciones en nuestra comprensión de los materiales extraterrestres. Una nanopartícula que se haya formado en un lugar con agua, como la Tierra, tendría una superficie más ordenada que otra formada en el seco espacio exterior. Un análisis de determinadas nanopartículas podría pues delatar su origen.

Los científicos modelaron y construyeron nanopartículas de sulfuro de zinc, y después utilizaron técnicas de rayos-X de sincrotón para observar los cambios en su estructura cristalina al ser expuestas a diferentes líquidos. En metanol, las partículas desarrollaron una superficie desordenada. Cuando se añadió agua al metanol, se observó una estructura mucho más ordenada. Finalmente, las nanopartículas que ya estaban secas, al ser sumergidas de nuevo en metanol, regresaron a su estructura original.

Nombre: Edymar Gonzalez A

http://www.ahorausa.com/CyT082903EstucCristal.htm

Basic Semiconductor Crystal Structure

Basic Semiconductor Crystal Structure 

 

To understand how diodes, transistors, and other semiconductor devices can do what they do, it is first necessary to understand the basic structure of all semiconductor devices. Early semiconductors were fabricated from the element Germanium, but Silicon is preferred in most modern applications.

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The crystal structure of pure silicon is of course 3-dimensional, but that is difficult to display or to see, so the image to the left is often used to represent the crystal structure of silicon. For you physics types, silicon (and germanium) falls in column IVa of the Periodic Table. This is the carbon family of elements. The essential characteristic of these elements is that each atom has four electrons to share with adjacent atoms in forming bonds.

While this is an oversimplified description, the nature of a bond between two silicon atoms is such that each atom provides one electron to share with the other. The two electrons thus shared are in fact shared equally between the two atoms. This type of sharing is known as a covalent bond. Such a bond is very stable, and holds the two atoms together very tightly, so that it requires a lot of energy to break this bond.

For those who are interested, the actual bonds in a 3-dimensional silicon crystal are arranged at equal angles from each other. If you visualize a tetrahedron (a pyramid with three points on the ground and a fourth point sticking straight up) with the atom centered inside, the four bonds will be directed towards the points of the tetrahedron.

Now we have our silicon crystal, but we still don't have a semiconductor. In the crystal we saw above, all of the outer electrons of all silicon atoms are used to make covalent bonds with other atoms. There are no electrons available to move from place to place as an electrical current. Thus, a pure silicon crystal is quite a good insulator. In fact, it is almost glass, which is silicon dioxide. A crystal of pure silicon is said to be an intrinsic crystal.

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To allow our silicon crystal to conduct electricity, we must find a way to allow some electrons to move from place to place within the crystal, in spite of the covalent bonds between atoms. One way to accomplish this is to introduce an impurity such as Arsenic or Phosphorus into the crystal structure, as shown to the right. These elements are from column Va of the Periodic Table, and have five outer electrons to share with other atoms. In this application, four of these five electrons bond with adjacent silicon atoms as before, but the fifth electron cannot form a bond. This electron can easily be moved with only a small applied electrical voltage. Because the resulting crystal has an excess of current-carrying electrons, each with a negative charge, it is known as "N-type" silicon.

This construction does not conduct electricity as easily and readily as, say, copper or silver. It does exhibit some resistance to the flow of electricity. It cannot properly be called a conductor, but at the same time it is no longer an insulator. Therefore, it is known as a semiconductor.

While this effect is interesting, it still isn't particularly useful by itself. A plain carbon resistor is easier and cheaper to manufacture than a silicon semiconductor one. We still don't have any way to actually control an electrical current.

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But wait a moment! We obtained a semiconductor material by introducing a 5-electron impurity into a matrix of 4-electron atoms. (For you physics types, we're only looking at the outer electrons that are available for bonding -- electrons in inner shells are not included in the process or in this discussion.) What happens if we go the other way, and introduce a 3-electron impurity into such a crystal? Suppose we introduce some Aluminum (from column IIIa in the Periodic Table) into the crystal, as shown to the left? We could also try Gallium, which is also in column IIIa right under aluminum. Now what?

These elements only have three electrons available to share with other atoms. Those three electrons do indeed form covalent bonds with adjacent silicon atoms, but the expected fourth bond cannot be formed. A complete connection is impossible here, leaving a "hole" in the structure of the crystal.

Experimentation shows that there is an empty place where an electron should logically go, and often an electron will try to move into that space to fill it. However, the electron filling the hole had to leave a covalent bond behind to fill this empty space, and therefore leaves another hole behind as it moves. Yet another electron may move into that hole, leaving another hole behind, and so forth. In this manner, holes appear to move as positive charges through the crystal. Therefore, this type of semiconductor material is designated "P-type" silicon.

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By themselves, P-type semiconductors are no more useful than N-type semiconductors. The truly interesting effects begin when the two are combined in various ways, in a single crystal of silicon. The most basic and obvious combination is a single crystal with an N-type region at one end and a P-type region at the other. A crystal with two regions as described is known as a semiconductor diode, and is the topic of the next page.

Nombre:Edymar Gonzalez A http://www.play-hookey.com/semiconductors/basic_structure.html

ESTRUCTURA CRISTALINA EN MATERIALES

ESTRUCTURA CRISTALINA EN MATERIALES

Ing. Alexander Saavedra Mambuscay

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INTRODUCCIÓN

La mayoría de los materiales sólidos no metálicos con los que uno a diario esta en contacto, encuentra que no hay diferencia característica entre su forma externa y la de casi todos los objetos metálicos. De aquí que resulte bastante sorprendente para la mayoría de la gente saber que los materiales metálicos poseen una estructura cristalina, mientras que materiales como la madera, plásticos, papel, vidrio y otros no la poseen, éste tipo de materiales tienen un arreglo al azar en sus partículas de manera que logran rigidez a la temperatura ambiente.

Los sólidos se pueden clasificar teniendo en cuenta el arreglo interno de sus partículas, en amorfos y cristalinos.

Se puede decir que un sólido es un material que posee forma y volumen definidos y que es una sustancia constituida por átomos metálicos, átomos no metálicos, iones ó moléculas.

Muchas de las propiedades de los metales tales como la densidad, dureza, punto de fusión, conductividad eléctrica y calorífica están relacionadas con la estructura cristalina y también con el enlace metálico. Sin embargo, ninguna depende tanto de la estructura cristalina como las propiedades mecánicas tales como la maleabilidad, ductilidad, resistencia a la tensión, temple y capacidad de hacer aleaciones.

SÓLIDOS AMORFOS

Son todos aquellos sólidos en los cuales sus partículas constituyentes presentan atracciones lo suficientemente eficaces como para impedir que la sustancia fluya, resultando una estructura rígida y más o menos dura.

No presentan una disposición interna ordenada por lo tanto no tienen ningún patrón determinado. También se les denomina vidrios ó líquidos sobreenfriados.

A temperaturas altas los amorfos se transforman en líquidos y sus partículas constituyentes tienen libertad de movimiento, al disminuir lentamente la temperatura, la energía cinética de las partículas se va haciendo tan baja que se puede producir un acomodamiento entre ellas; pero si el enfriamiento se produce rápidamente y por debajo del punto de fusión (sobreenfiramento), se origina, como resultado de las menores vibraciones, una contracción térmica que no permite el ordenamiento de las partículas aumentando la viscosidad que ya no es posible apreciar flujo y la sustancia adquiere las características de un sólido: rigidez, dureza, forma y volumen definidos, etc. Como ejemplos cabe resaltar: el asfalto, ceras, la brea, vidrio y la mayoría de los polímeros.

Cuando un sólido amorfo se quiebra produce caras y bordes irregulares y al fundirse lo hace en un rango de temperaturas cambiando lentamente del estado sólido al estado líquido.

SÓLIDOS CRISTALINOS Y REDES DE BRAVAIS

Los sólidos cristalinos están constituidos por minúsculos cristales individuales cada uno con forma geométrica y poseen la característica de que al romperse producen caras y planos definidos, al igual presentan puntos de fusión definidos. Como ejemplos podemos destacar: el NaCl, la sacarosa, metales y aleaciones, y también algunos cerámicos.

Los átomos o iones de un sólido se ordenan en una disposición que se repite en tres dimensiones, forman un sólido del que se dice tiene una estructura cristalina, se dice también que es un sólido cristalino o un material cristalino.

Punto reticular: ión, átomo o moléculaque se repite infinitamente	figura 1
Líneas rectas imaginarias que forman laCeldilla unidad	figura 2
El patrón se repite en el espacio yForma el retículo cristalino	figura 3

El tamaño y la forma de la celda unidad pueden describirse por tres vectores reticulares a, b, c y por ángulos entre las caras y la longitud relativa de las aristas, denominados parámetros de red, constantes de red o ejes cristalográficos.

a, b, c : longitud de las aristas correspondientes a los ejes coordenados X, Y,Z.

a , b , g : ángulos entre las aristas.

figura 4

La importancia en la ingeniería de la estructura física de los materiales sólidos depende primordialmente de la disposición de los átomos, iones o moléculas que constituyen el sólido y de las fuerzas de enlace entre ellos.

Asignando valores específicos para las longitudes axiales y los ángulos intereaxiales, se pueden construir diferentes tipos de celda unidad. Los cristalógrafos han mostrado que son necesarias sólo siete tipos de diferentes de celda unidad para crear todas las redes puntuales, estos sistemas cristalinos son: el Cúbico, el Tetragonal, el Ortorrómbico, el Romboédrico, el Hexagonal, el Monoclínico y el Triclínico. La mayor parte de los sistemas cristalinos presentan variaciones de la celda unidad básica. A.J. Bravais mostró que 14 celdas unidad estándar podían describir todas las estructuras reticulares posibles. Hay cuatro tipos básicos de celdas unidad (1) Sencilla, (2) Centrada en el Cuerpo, (3) Centrada en las Caras, y (4) Centrada en la Base.

En el Sistema Cúbico hay tres tipos de celda unidad: cúbica sencilla, cúbica centrada en el cuerpo y cúbica centrada en las caras. En el Sistema Ortorrómbico hay están representados los cuatro tipos. En el Sistema Tetragonal hay solo dos: sencilla y centrada en el cuerpo. La celda unidad tetragonal centrada en las caras parece que falta, pero se puede formar a partir de cuatro celdas unidad tetragonales centradas en el cuerpo. El Sistema Monoclínico tiene celdas unidad sencilla y centrada en la base, y los Sistemas Romboédrico, Hexagonal y Triclínico tienen sólo una celda unidad.

PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METÁLICAS

La mayoría de los metales elementales (90%) cristalizan en tres estructuras cristalinas densamente empaquetadas: cúbica centrada en las caras FCC, hexagonal compacta HCP y cúbica centrada en el cuerpo BCC debido a que se libera energía a medida que los átomos se aproximan y se enlazan cada vez más estrechamente entre sí. Por lo tanto dichas estructuras densamente empaquetadas se encuentran en disposiciones u ordenamientos de energía cada vez más baja y estable.

Ejemplo

¿ Cuántas celdas unidad hay aproximadamente en el Fe puro BCC si las aristas de la celda estuvieran alineadas arista con arista en 1 mm, si a temperatura ambiente la arista es igual a 0.287 X 10^-9 nm ?

Estructura Cristalina Cúbica Centrada en el Cuerpo BCC

En esta celda unidad las esferas sólidas representan los centros donde los átomos están localizados e indican sus posiciones relativas. En esta celda unidad el átomo central esta rodeado de 8 vecinos más cercanos y se dice que tiene por lo tanto un número de coordinación de 8. Cada una de estas celdas unidad tiene el equivalente de 2 átomos por celda unidad. Un átomo completo esta localizado en el centro de la celda unidad, y un octavo de esfera esta localizado en cada vértice de la celda unidad, haciendo el equivalente de otro átomo. De este modo, hay un total de 1 (en el centro) + 8 x 1/8 (en los vértices) = 2 átomos por celda unidad.

Los átomos en este tipo de celdas contactan entre sí a través de la diagonal del cubo, y la relación entre la longitud de la cara del cubo a y el radio atómico R es:

Si los átomos en la celda BCC se consideran esféricos, el factor de empaquetamiento atómico (APF) puede hallarse empleando la siguiente expresión:

El APF de esta celda es 0.68, es decir, el 68% del volumen de la celda esta ocupado por átomos y el 32% restante en espacio vacío. El cristal BCC no es una estructura totalmente compacta, ya que los átomos aún podrían situarse más juntos. Muchos metales como el Cromo, Hierro, Wolframio, Molibdeno y Vanadio tienen estructura cristalina BCC.

Estructura Cristalina Cúbica Centrada en las Caras FCC. En esta celda hay un punto reticular en cada vértice del cubo y otro en el centro de cada cara del cubo. El modelo de esferas sólidas indica que los átomos de esta estructura están unidos del modo más compacto posible. El APF de esta estructura de empaquetamiento compacto es 0.74.

Esta celda tiene el equivalente a cuatro átomos por celda unidad. Un octavo de átomo en cada vértice (8 x 1/8=1) y seis medios átomos en el medio (1/2 x 6= 3).

Los átomos en la celda FCC contactan entre sí a lo largo de la diagonal de la cara del cubo, de tal forma que la relación entre la longitud de la cara del cubo y el radio atómico es:

Metales como el Aluminio, el Cobre, el Plomo, el Níquel y el Hierro a temperaturas elevadas (912 a 1394°C) cristalizan según la estructura FCC.

Ejemplo

El Cu posee una estructura FCC y un radio atómico de 0.1278 nm y considerando que los átomos son esferas sólidas que contactan a lo largo de las diagonales de la celdilla unidad FCC. ¿ Cuál es el valor teórico de la densidad del Cu ?

Masa atómica del Cu=63.54 g/mol

1/8 * 8= 1 átomo½ * 6= 3 átomo a 4 átomos en la celda FCC

figura 5

Parámetro de Red:

Volumen de la celda:

V=a³ = (0.361nm)³ =0.047nm³x(1X10^-9m)³ = 4.7 x 10^-29 m³

Masa de los átomos de Cu en la celda:

Densidad Volumétrica:

El valor tabulado experimentalmente es de 8.96 , la diferencia se debe a que los átomos no son esferas perfectas, a la ausencia de átomos en las posiciones atómicas, a defectos en la red, etc.

Estructura Cristalina Hexagonal Compacta HCP

Los metales no cristalizan en la estructura hexagonal sencilla porque el APF es demasiado bajo. El APF es 0.74 ya que los átomos están empaquetados de un modo lo más cercano posible. Cada átomo esta rodeado de otros 12 átomos y por tanto su número de coordinación es 12.

La celda HCP posee 6 átomos, tres forman un triángulo en la capa intermedia, existen 6*1/6 secciones de átomos localizados en las capas de arriba y de abajo, haciendo un equivalente a 2 átomos más, finalmente existen 2 mitades de átomo en el centro de ambas capas superior e inferior, haciendo el equivalente de un átomo más.

La relación c/a de una estructura cristalina HCP ideal es de 1.633 que indica esferas uniformes tan próximas como sea posible. Los metales Cinc, Cadmio poseen una relación c/a más alta que la ideal, lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celda unidad HCP. Los metales como el Titanio, Berilio, Magnesio Y Circonio entre otros tienen relaciones c/a menores que la ideal. Por tanto en estos metales los átomos están comprimidos a lo largo de la dirección del eje c.

ÍNDICES DE MILLER

Celdas Cúbicas. Los índices de Miller de un plano cristalino están definidos como los recíprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes x, y, z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. Las aristas de una celda cúbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos de una red se miden en base a estas longitudes unitarias.

El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico es el siguiente:

Escoger un plano que no pase por el origen en (0,0,0)

Determinar las intersecciones del plano en base a los ejes x, y, z cristalográficos para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias.

Construir los recíprocos de las intersecciones.

Despejar fracciones y determinar el conjunto más pequeño de números enteros que estén en la misma razón de las intersecciones. Estos números enteros son los índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre paréntesis sin usar comas. La notación (hkl) se emplea para indicar los índices de Miller en sentido general, donde h, k, y l son los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico de ejes x, y, y z respectivamente.

Ejemplos

figura 6

Las intersecciones del primer plano son 1, 1, y los recíprocos de estos números son 1, 1, 0 no involucran fracciones, siendo los índices de Miller (1 1 0).

Para la segunda figura, las intersecciones son: 1, , a los ejes x, y, z respectivamente, por lo tanto los recíprocos son: 1, 0, 0. Los índices de Miller para este plano son: (1 0 0 ).

Finalmente, el tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un índice de Miller (1 1 1).

Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de manera que uno ó más cortes se hacen cero, el plano ha de ser desplazado a una posición equivalente en la misma celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo al original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes son indicados con los mismos índices de Miller.

Si grupos de planos de redes equivalentes están relacionados por la simetría del sistema cristalino, se llaman familia de planos, y los índices de una familia de planos son encerrados entre llaves. Por ejemplo, los índices de Miller de los planos de la superficie del cubo (100) (010) y (001) se designan colectivamente como una familia con la notación {100}.

Una importante relación sólo para el sistema cúbico es que los índices de una dirección perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los índices de Miller para ese plano. Por ejemplo, la dirección [100] es perpendicular al plano cristalino (100).

Celda HCP. Se identifican empleando cuatro índices en vez de tres, se denominan índices Miller-Bravais, son representados por las letras h, k, i, l y encerrados entre paréntesis (h, k, i, l). Estos índices hexagonales están basados en un sistema coordenado de cuatro ejes, tres ejes básicos a₁,a₂,a₃ que forman 120° entre sí, el cuarto eje o eje c es el eje vertical y está localizado en el centro de la celdilla unidad (Ver figura). La unidad a de medida a lo largo de los ejes a₁,a₂,a₃ es la distancia entre los átomos. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano determina con los ejes a₁,a₂,a₃ proporcionan los índices h, k e i mientras que el reciproco de la intersección con el eje c da el índice l.

figura 7

Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla, el plano basal de la parte superior es paralelo a los ejes a₁,a₂,a₃ , las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a₁ = a₂= a₃ = . El eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los índices de Miller-Bravais para el plano basal HCP. Así, h=0, K=0, i=0, l=1. El plano basal es, por tanto, un plano (0001).

Las direcciones en las celdas unitarias HCP se indican por cuatro índices [u,v,t,w]. Son vectores reticulares en las direcciones a₁,a₂,a₃ respectivamente y el índice w es un vector reticular en la dirección c.

SISTEMAS DE DESLIZAMIENTO

Un sistema de deslizamiento es la combinación de un plano y una dirección que se halla sobre el plano a lo largo del cual se produce el deslizamiento.

El Mecanismo de deslizamiento puede definirse como el movimiento paralelo de dos regiones cristalinas adyacentes, una respecto a la otra, a través de algún plano (o planos).

El deslizamiento no se produce sobre un plano solamente, sino sobre pequeñas regiones de planos paralelos llamados bandas de deslizamiento o líneas de deslizamiento, dependiendo de sus espesores. Puesto que todas las líneas de deslizamiento está en grupos paralelos dentro de cada monocristal (cada grano), deben corresponder a una misma familia de planos (hkl) ocupados del grano particular. A partir de mediciones sobre especímenes de monocristales de orientaciones conocidas se puede determinar 1) los planos sobre los cuales se produce el deslizamiento y 2) la dirección de deslizamiento dentro de estos planos. Tales experimentos han revelado que en las estructuras FCC el deslizamiento siempre se produce sobre los planos {111} pero solamente en las direcciones <110>. Esto significa que si se produce el deslizamiento sobre el plano (111) será en alguna de las tres direcciones ± [101], ±[110], ±[011].

Los cristales FCC poseen 12 sistemas de deslizamiento debido a que tienen cuatro grupos {111} y con tres direcciones <110> en cada una.

En otras estructuras de cristales metálicos, los sistemas de deslizamiento tienen más variabilidad. En los metales BCC las líneas de deslizamiento tienen una apariencia ondulada. En estos cristales el deslizamiento se produce predominantemente en los sistemas {110} <111> y la apariencia ondulada se debe aparentemente a deslizamiento simultáneo sobre los otros dos sistemas de planos {211} y {321} . En cristales HCP reales, la relación c/a no es igual al valor ideal de 1.633 del modelo de esfera dura. Para los metales c/a > 1.633 hay alguna preferencia para el deslizamiento sobre el plano basal, <1120>(0001), mientras que para aquellos metales con c/a < 1.633 los sistemas de deslizamiento preferidos son los otros dos.

Estructura	Dirección de Deslizamiento	Planos de Deslizamiento	Ejemplos
FCC	<110>	{111}	Cu, Al, Ni, Pb, Au, Ag, Fe
BCC	<111>	{110}	Fe, W, Mo, Latón, Nb, Ta
BCC	<111>	{210}	Fe, Mo, W, Na
BCC	<111>	{321}	Fe, K
HCP	<1120>	(0001)	Cd, Zn, Mg, Ti, Be, Co
HCP	<1120>	{1010}	Ti, Mg, Zr, Be
HCP	<1120>	{1011}	Ti, Mg

Tres observaciones generales son de gran importancia:

1. Las direcciones de deslizamiento siempre son en la dirección de empaquetamiento compacto. Existen excepciones, por ejemplo, mercurio sólido.
2. El deslizamiento ocurre usualmente sobre la mayoría de los planos compactos. Esta observación esta relacionada con el hecho de que los planos empaquetados más densamente también son el grupo de planos (hkl) ocupados que tienen el espaciamiento más amplio.
3. El deslizamiento se produce primero sobre el sistema de deslizamiento que tiene el mayor esfuerzo de corte a lo largo de su dirección de deslizamiento.

REFERENCIAS

VERHOEVEN, John, D. Fundamentos de Metalurgia Física. Ed. Limusa. 1987

SANDS, Donald. Introducción a la Cristalografía. Ed. Reverté S.A.

SMITH, William F. Fundamentos de la Ciencia e Ingeniería de Materiales. Ed. Mc Graw Hill. 1993

BRICEÑO, Carlos Omar. Química. Ed. Educativa

PULIDO ARENAS, Helena. Conferencias de Química I. "El Estado Sólido y Propiedades de los Materiales". Universidad Industrial de Santander. 1992

Nombre: Edymar Gonzalez Albarracin
http://www.angelfire.com/me3/mambuscay/Art5.htm